一筆畫

        記 得 在 小 學 的 時 侯 , 常 常 和 同 學 一 起 玩 一 筆 畫 遊 戲 。 我 們 只 是 畫 了 些 圖 , 看 誰 能 把 圖 一 筆 畫 。 就 好 像 個 『 田 』 字 , 我 們 花 了 不 少 時 間 也 未 能 把 它 畫 成 呀 。 現 在 才 知 道 它 是 沒 有 解 的 。

什麼是一筆畫?

        任 何 由 實 線 條 組 成 的 圖 形 , 都 可 以 進 行 一 筆 畫 遊 戲 , 我 們 從 圖 的 任 何 一 點 開 始 , 繪 畫 該 圖 形 , 其 間 不 能 重 復 任 何 線 段 斷 ( 點 是 可 以 重 復 的 ) , 一 氣 呵 成 把 圖 畫 成 就 算 成 功 。

一筆畫的歷史

        從 遠 古 開 始 , 在 歐 洲 已 經 有 許 多 人 對 一 筆 畫 的 問 題 感 到 興 趣 。 在 1 7 5 9 年 , 著 名 的 數 學 家 歐 拉 提 出 一 條 有 關 一 筆 畫 的 問 題 , 使 一 筆 畫 成 為 當 時 的 熱 門 話 題 。 歐 拉 提 出 的 就 是 著 名 的 『 七 橋 問 題 』 。 關 於 這 個 問 題 , 我 們 稍 後 會 慢 慢 研 究 。

        一 筆 畫 並 不 是 什 麼 深 奧 的 數 學 課 題 , 它 只 能 成 為 一 些 趣 味 小 題 , 所 以 有 很 多 國 家 , 如 中 國 大 陸 等 , 一 筆 畫 都 是 小 學 生 必 讀 的 課 題 。

一個有關一筆畫的比喻

        既 然 一 筆 畫 圖 形 是 由 一 條 曲 線 扭 成 , 我 們 不 如 把 曲 線 看 成 一 條 繩 , 一 條 可 以 讓 你 隨 意 扭 動 的 繩 。

        這 是 為 什 麼 呢 ? 讀 者 於 思 考 一 筆 畫 問 題 時 有 可 能 會 因 對 曲 線 的 形 狀 和 特 性 不 是 太 清 楚 而 把 問 題 復 雜 化 , 但 我 們 一 般 人 都 可 看 過 和 用 過 繩 , 無 論 在 室 內 室 外 都 常 接 觸 到 , 所 以 以 繩 喻 為 線 , 讀 者 能 更 加 容 易 接 受 。 最 重 要 的 是 , 線 和 繩 在 一 筆 畫 中 並 沒 有 任 何 分 別 。

        進 行 一 筆 畫 時 , 我 們 更 能 以 一 隻 螞 蟻 在 繩 上 爬 行 作 喻 。 當 然 , 螞 蟻 行 的 方 法 是 跟 一 筆 畫 的 方 法 一 模 一 樣 。

繩和線的特性

        在 這 裡 , 我 們 從 這 角 度 考 慮 兩 種 繩 , 一 種 是 有 兩 端 ( 有 頭 有 尾 ) 的 繩 , 另 一 種 是 像 橡 皮 圈 的 繩 。

        請 問 你 有 沒 有 見 過 和 上 圖 不 同 的 繩 呢 ? 例 如 有 三 個 頭 的 繩 , 又 或 者 是 一 個 頭 , 我 就 沒 有 見 過 了 。 但 右 方 的 繩 我 就 見 過 , 你 也 許 會 問 : 這 就 不 是 得 一 個 頭 的 繩 嗎 ?

        但 如 果 我 們 視 它 為 一 條 繩 , 它 並 不 是 沒 有 第 二 個 頭 , 而 只 是 看 不 見 , 試 想 想 , 它 的 尾 只 是 藏 在 繩 的 一 段 中 。 就 好 像 這 樣 :

        事 實 上 這 兩 種 繩 是 可 以 互 相 轉 換 的 。 例 如 將 第 一 類 繩 的 頭 尾 連 接 在 一 起 打 個 結 , 就 可 成 為 第 二 類 繩 ; 相 反 地 說 , 將 等 二 類 繩 的 中 間 剪 開 , 就 可 以 得 到 第 一 類 繩 了 。


螞蟻的爬行

        螞 蟻 是 如 何 爬 行 的 , 與 這 課 題 亳 無 關 系 , 不 過 螞 蟻 爬 行 的 路 線 , 就 是 我 們 最 關 心 的 , 這 是 因 為 螞 蟻 能 在 繩 爬 。 螞 蟻 是 不 能 飛 行 的 , 所 以 牠 不 能 從 繩 的 一 點 飛 到 另 一 點 , 牠 只 能 一 步 一 步 慢 慢 地 爬 , 到 牠 要 到 的 地 方 。

        要 螞 蟻 行 一 條 繩 , 牠 一 定 要 從 繩 的 頭 開 始 爬 , 爬 到 繩 的 另 一 端 。

        如 果 螞 蟻 不 是 從 繩 頭 開 始 , 而 是 從 中 間 開 始 , 牠 只 能 爬 到 其 中 一 邊 , 到 了 尾 點 後 , 牠 就 找 不 到 路 走 了 , 但 牠 還 有 未 走 過 的 路 , 如 果 牠 要 走 其 餘 的 路 , 就 必 須 走 回 未 走 的 路 。

        從 一 筆 畫 的 角 度 來 看 , 重 復 了 路 是 不 行 的 , 所 以 對 於 這 種 圖 , 我 們 必 須 從 線 的 頭 開 始 , 才 可 能 把 圖 一 筆 畫 成 。

        當 轉 成 圈 形 繩 子 , 螞 蟻 就 可 以 從 任 何 點 開 始 , 都 可 以 行 完 全 程 , 而 且 還 能 返 回 起 點 。

        從 一 筆 畫 的 角 度 來 看 , 圈 是 一 定 有 無 限 解 的 , 而 且 起 點 及 終 點 一 定 是 在 同 一 點 。

從簡單的圖形看一筆畫的特性

        我 們 現 在 看 看 一 個 T 形 的 路 , 螞 蟻 從 其 中 一 端 開 始 爬 , 很 快 就 來 到 分 叉 點 … …

        究 竟 牠 要 向 前 走 , 還 是 向 下 走 呢 ? 但 無 論 牠 選 擇 哪 一 條 路 , 牠 都 不 能 以 不 重 復 路 線 的 方 法 來 走 完 全 程 。 除 非 兩 條 路 是 連 接 在 一 起 的 , 牠 就 能 以 分 叉 點 作 終 點 行 畢 全 程 。

        所 以 , 有 這 種 分 叉 點 的 圖 , 這 分 叉 一 定 是 起 點 或 終 點 。

        其 實 這 定 理 能 擴 展 到 所 有 有 單 數 線 連 接 的 分 叉 點 , 如 果 有 n 條 線 連 接 到 一 個 點 , 有 一 隻 螞 蟻 從 其 中 一 條 線 來 到 這 點 , 然 後 從 另 一 條 路 離 開 , 餘 下 就 有 ( n - 2 ) 條 線 讓 螞 蟻 爬 過 。 要 是 螞 蟻 不 停 地 通 過 這 點 , 餘 下 的 線 就 會 不 斷 減 少 , 如 果 n 是 雙 數 , 最 後 餘 下 的 線 數 量 為 2 , 在 最 後 一 次 通 過 這 點 時 , 會 以 最 後 還 沒 有 行 的 路 離 開 。

        但 如 果 n 是 單 數 , 在 不 斷 減 少 後 , 最 後 會 減 至 1 , 也 就 是 說 , 當 螞 蟻 最 後 一 次 進 入 這 點 , 牠 並 不 可 能 找 到 一 個 還 沒 有 走 過 的 路 離 開 , 所 以 這 一 點 一 定 要 成 為 起 點 或 終 點 。

        總 括 來 說 , 所 有 有 單 數 線 連 接 的 分 叉 點 必 定 是 起 點 或 終 點 。

        看 看 這 兩 個 圖 :

        路 線 的 一 部 分 是 看 不 見 的 , 但 我 們 能 一 看 就 知 道 它 是 沒 有 解 的 , 你 知 道 為 什 麼 嗎 ? 從 上 一 部 分 我 們 知 道 單 數 線 連 接 的 分 叉 點 必 定 是 起 點 或 終 點 , 在 這 兩 個 圖 中 , 我 們 可 以 看 到 每 個 圖 都 有 4 個 起 點 或 終 點 , 但 是 前 部 分 我 們 曾 說 過 一 條 線 只 有 2 個 頭 , 現 在 這 兩 圖 均 有 4 個 頭 , 即 是 說 , 這 兩 個 圖 都 不 是 由 一 條 線 結 合 成 的 , 所 以 這 兩 個 圖 都 不 能 一 筆 畫 成 。 要 知 道 它 最 少 需 要 多 少 條 線 才 能 畫 成 , 就 視 乎 看 不 見 的 部 分 了 , 而 現 在 我 們 需 要 至 少 2 條 線 才 能 畫 成 。

        如 果 圖 沒 有 單 數 分 叉 點 , 我 們 只 需 要 1 條 線 就 能 把 圖 畫 成 ; 如 果 圖 有 2 n 個 單 數 分 叉 點 , 至 少 要 n 條 線 才 能 把 圖 畫 成 ; 如 果 圖 有 2 n + 1 個 單 數 分 叉 點 , 至 少 要 n + 1 條 線 才 能 把 圖 畫 成 。 ( n 為 正 整 數 )

實戰一筆畫

        例 子 1 :

        從 圖 看 出 , 單 數 分 叉 點 為 2 , 圖 可 以 解 , 起 點 及 終 點 為 兩 端 。 此 圖 由 一 條 直 線 和 兩 個 小 圈 組 成 。 假 設 起 點 為 A 點 , 終 點 為 F 點 , 如 果 螞 蟻 一 口 氣 跑 到 F 點 , 那 麼 兩 個 圈 就 沒 有 走 。 所 以 當 牠 走 到 B 點 , 牠 就 首 先 要 到 C 點 , 無 論 牠 從 左 邊 或 右 邊 通 過 C 點 , 牠 都 必 能 走 完 這 個 圈 , 而 且 返 回 B 點 , 就 像 這 個 小 圈 是 獨 立 的 一 條 小 路 , B 點 是 起 點 和 終 點 。

        螞 蟻 一 直 的 走 , 當 牠 和 第 二 個 小 圈 相 會 , 牠 能 以 D 點 或 者 E 點 作 起 點 , 把 這 個 小 圈 行 完 , 而 且 一 定 能 返 回 圈 的 起 點 。 這 次 我 們 視 小 圈 為 獨 立 的 一 條 小 路 , 雖 然 小 圈 和 直 線 有 兩 個 交 點 , 但 我 們 只 需 理 會 其 中 一 個 交 點 , 從 這 點 開 始 , 我 們 視 小 圈 為 獨 立 的 一 條 小 路 , 把 它 行 完 後 , 必 能 返 回 起 點 , 而 當 中 的 其 他 交 點 , 我 們 都 不 需 理 會 , 只 需 理 會 現 在 正 在 行 的 小 路 。

        螞 蟻 一 直 的 走 , 就 可 以 走 到 F 點 , 完 成 旅 程 。 所 以 此 圖 的 其 中 一 解 為 :

        為 什 麼 我 說 其 中 一 解 呢 ? 如 上 面 提 及 , 畫 一 條 路 線 並 不 只 一 個 方 法 , 例 如 第 一 個 小 圈 就 有 2 解 , 第 二 個 小 圈 就 有 6 解 , 再 加 上 從 F 點 開 始 的 解 , 總 共 有 2 * 2 * 6 = 2 4 解 , 讀 者 可 以 自 己 想 想 為 什 麼 。 就 是 這 個 簡 單 的 圖 , 就 已 經 有 2 4 解 , 對 於 一 些 更 加 復 雜 的 圖 , 解 的 數 量 是 成 千 上 萬 , 而 圖 的 分 叉 點 越 多 , 解 的 數 量 就 越 多 。 ( 分 叉 點 的 數 量 和 解 的 數 量 是 有 一 定 關 系 的 , 這 個 留 給 讀 者 自 己 計 算 )

        雖 然 解 有 那 麼 多 , 但 是 一 些 是 比 較 容 易 找 到 的 , 對 於 將 來 比 較 復 雜 的 圖 , 用 這 個 方 法 去 解 題 會 比 較 容 易 和 有 效 。

        我 們 以 A F 為 主 路 線 , 兩 個 小 圈 為 副 路 線 , 當 我 們 來 到 了 第 一 個 和 副 路 線 相 交 的 點 , 就 把 副 路 線 行 完 , 此 時 必 定 回 到 主 路 線 , 而 且 是 起 始 行 副 路 線 的 相 交 點 , 然 後 繼 續 沿 主 路 線 行 , 在 到 了 第 二 副 路 線 接 觸 的 點 , 把 第 二 副 路 線 行 完 , 再 走 到 終 點 。

        例 子 2 :

        從 這 圖 看 來 , 好 像 有 許 多 交 點 , 十 分 復 雜 , 但 原 來 用 我 們 上 述 的 方 法 , 就 能 容 易 地 把 圖 一筆 畫 。

        我 們 以 直 線 為 主 路 線 , 三 個 小 圈 為 副 路 線 , 要 注 意 的 是 副 路 線 與 副 路 線 之 間 的 交 點 與 我 們 沒 有 關 系 , 我 們 不 需 要 理 會 。 而 主 路 線 與 副 路 線 的 交 點 中 , 我 們 只 需 理 會 其 中 一 個 , 最 好 是 第 一 個 。

        答 案 是 :

        例 子 3 :

        這 一 次 , 主 線 不 見 了 , 但 我 們 仍 能 看 到 圖 是 由 3 個 圓 圈 組 成 。 留 意 中 間 的 圓 圈 , 它 同 時 把 兩 個 圓 圈 穿 上 , 那 麼 我 們 便 能 以 中 間 的 小 圈 作 主 線 , 便 能 輕 易 完 成 。

        例 子 4 :

        圖 沒 有 主 線 , 也 沒 有 穿 過 所 有 圈 的 部 分 , 那 麼 應 該 怎 麼 辦 呢 ? 其 實 我 們 可 以 將 主 與 副 的 概 念 擴 展 。 在 這 個 圖 中 , C 1 連 C 2 , C 2 連 C 3 … … 假 如 我 們 設 C 1 為 主 線 , C 2 便 成 為 副 線 , 沿 著 C l 走 , 把 C 2 當 作 副 線 行 ; 當 行 到 C 2 時 , 我 們 設 C 2 為 主 線 , C 3 便 成 為 副 線 , 沿 著 C 2 走 , 把 C 3 當 作 副 線 行 … … 到 了 C 5 , 因 為 C 5 再 沒 有 連 接 其 他 圈 , 所 以 很 順 利 回 到 C 4 , 如 此 類 推 , 就 可 返 回 C 1 。

        因 方 便 , 我 們 以 1 - > 2 - > 3 - > 4 - > 5 - > 4 - > 3 - > 2 - > 1 顯 示 答 案 , 相 信 不 難 明 白 。

        例 子 5 :

        例 2 、 例 3 中 圈 的 大 小 都 是 一 樣 的 , 而 且 是 平 排 的 , 其 實 並 不 一 定 。 就 如 這 個 圖 , 我 們 為 不 同 的 方 形 命 名 , 圖 的 解 可 以 為 1 - > 2 - > 3 - > 4 - > 3 - > 2 - > 1 , 也 可 以 是 4 - > 3 - > 2 - > 1 - > 2 - > 3 - > 4 等 等 , 即 是 說 我 們 可 以 從 內 部 開 始 , 也 可 以 從 外 部 開 始 , 連 中 間 開 始 都 可 以 ! !

一筆畫必勝法

        只 要 跟 隨 下 面 的 程 序 , 就 一 定 能 畫 到 :
                1:數 出 單 數 分 叉 點 的 數 量 ;
                2:如 果 圖 能 解 , 把 圖 劃 分 為 許 多 小 部 分 , 這 些 部 分 一 定 要 很 容 易 一 筆 畫 成 ;
                3:看 看 有 沒 有 其 中 一 部 分 把 全 部 小 部 分 連 接 在 一 起 ;
                4:如 果 有 , 將 它 設 成 主 路 線 , 其 他 設 成 副 路 線 , 從 主 路 線 的 單 數 分 叉 點 開 始 , 接 觸 副 路 線 時 把 副 路 線 行 完 , 直 至 主 路 線 行 完 為 止 ; ( 注 意 : 主 路 線 可 以 是 開 口 或 者 圈 形 , 但 副 路 線 一 定 要 是 圈 形 。 )
                5:如 果 沒 有 , 將 其 中 一 個 部 分 設 成 主 路 線 , 為 不 同 的 部 分 命 名 , 再 寫 出 解 的 次 序 , 最 後 跟 隨 次 序 把 圖 畫 出 。

        只 要 多 練 習 , 一 筆 畫 並 不 是 困 難 的 課 題 。

七橋問題

        以 下 是 某 地 方 的 地 圖 :

        這 裡 有 四 個 島 - - A B C D , 有 七 條 橋 - - a b c d e f g - - 連 接 在 一 起 , 歐 拉 希 望 一 個 人 能 不 重 復 任 何 橋 而 把 所 有 橋 行 過 。 有 些 人 看 到 這 個 問 題 後 , 就 說 : 「 這 一 定 有 解 ! ! 」 於 是 拿 起 筆 不 斷 試 。 有 些 人 試 了 很 久 , 都 未 能 解 題 , 就 說 : 「 這 一 定 無 解 ! ! 」 但 他 們 都 拿 不 出 証 據 。

        其 實 螞 蟻 和 人 是 沒 有 分 別 的 , 橋 是 繩 , 島 也 只 是 繩 的 結 , 七 橋 問 題 根 本 就 是 一 筆 畫 問 題 ! ! 那 麼 我 們 就 好 做 了 。 我 們 將 它 寫 成 :

        你 說 它 是 否 有 解 ?

練習


-完-

作者:至正
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